Indice:
1. Breve introduzione
2. Piccolissimi cenni sulla spiegazione fisica
3. Esempi con telescopio ottico e radiotelescopio
4. Un altro modo, più semplice, di esprimere la risoluzione angolare per un telescopio ottico e per un radiotelescopio, ma a particolari lunghezze d'onda/frequenze
5. Dimostrazione per il telescopio ottico
6. Dimostrazione per il radiotelescopio
7. Torniamo agli stessi esempi con telescopio ottico e radiotelescopio
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1. Breve introduzione

Ci proponiamo di studiare il problema della risoluzione angolare di uno strumento, sia in astronomia ottica che in radioastronomia, considerando quindi un telescopio ottico e un radiotelescopio costituito da un'unica antenna con riflettore parabolico, allo scopo di confrontare le due situazioni.
Come è noto, la risoluzione angolare di uno strumento ottico è la minima distanza che due punti devono avere per poter apparire come separati. Per esempio, si può dimostrare che un telescopio con un’apertura di 40 cm, ossia il cui obiettivo ha un diametro di 40 cm, se si considera la lunghezza d’onda verso cui l’occhio umano è più sensibile (circa 550 nanometri, colore verde) ha una risoluzione di circa 0,35 secondi d’arco.
Il fatto che esista una distanza angolare minima dipende da fenomeni di ottica ondulatoria (diffrazione).
Domanda:
Si può parlare di risoluzione anche in radioastronomia? In particolare, per esempio, quanto vale la risoluzione angolare di un radiotelescopio con una parabola di 3 metri di diametro e che lavori sulla frequenza di 10 GHz? Ricordiamo che tale frequenza corrisponde ad una lunghezza d’onda di 3 cm.
Bene, la risposta è: sì, la risoluzione, non solo si definisce allo stesso modo, ma si calcola esattamente allo stesso modo (con la stessa formula matematica), perché i fenomeni ondulatori sono esattamente gli stessi, anche se a frequenze diverse.
In particolare, si può dimostrare che con un radiotelescopio con parabola da 3 metri che lavori alla lunghezza d’onda di 3 cm (10 GHz) la risoluzione vale circa 0,7 gradi, ossia circa 40 primi.
Ribadiamo, quindi, che SUSSISTE ANALOGIA COMPLETA TRA ASTRONOMIA OTTICA E RADIOASTRONOMIA.
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2. Piccolissimi cenni sulla spiegazione fisica

I fenomeni diffrattivi fanno in modo che l’immagine di un singolo punto, su un piano perpendicolare all’asse ottico, in realtà, non sia un punto ma una particolare figura, detta “figura di diffrazione”, costituita da un disco centrale, detto “disco di Airy” e da una serie di anelli concentrici chiaro-scuri. Questo può rendere le immagini poco nitide. Utilizzare strumenti ottici di grande apertura, oltre che contribuire a raccogliere più energia luminosa, diminuisce la dimensione del disco di Airy corrispondente a ciascun punto di un'immagine, rendendo le immagini più nitide.
Due punti sono considerati separati se la loro distanza angolare è maggiore del raggio (inteso come distanza angolare tra il centro e il bordo) del disco di Airy (criterio di Rayleigh).

Si dimostra che quest’ultimo vale

1,22 λ/D

(in realtà, interviene anche la funzione matematica seno, ma, per angoli molto piccoli, il suo valore tende a coincidere con il suo argomento, pertanto, in genrale, possiamo ignorarla)

dove λ è la lunghezza d’onda, D è l’apertura dello strumento ottico, ottenendo un angolo espresso in radianti, che poi, se si preferisce, va convertito in gradi, o primi o secondi d'arco. (Ricordiamo dalla scuola che, per esempio, 180 gradi sono uguali a π radianti, ossia a 3,14 radianti.)

Dunque, la risoluzione angolare di un telescopio ottico vale
1,22 λ/D .

In realtà, questa espressione resta del tutto valida anche per un radiotelescopio costituito da un'antenna con riflettore parabolico. Infatti, il bordo circolare di un paraboloide che ha un certo diametro D si comporta proprio come il diaframma di uno strumento ottico. Per questo motivo, il calcolo della risoluzione angolare si svolge esattamente allo stesso modo.
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3. Esempi con telescopio ottico e radiotelescopio

Toriniamo all’esempio del telescopio con 40 cm di apertura.
Se nella formula inseriamo:
D=40 cm, λ=550 nanometri, otteniamo che la risoluzione vale
1,22 λ/D = 0, 000 001 677 radianti
Prendiamo la calcolatrice scientifica per fare la conversione e otteniamo
0,35 secondi d’arco,
come detto sopra.

Adesso, invece, torniamo all’esempio del radiotelescopio.

Allora, se nella formula inseriamo
D=3 metri, λ = 3 cm, abbiamo
1,22 λ/D = 0,0122 radianti.
Con la calcolatrisce scientifica scopriamo che questo valore è uguale a
0,7 gradi = circa 40 primi
come detto sopra.
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4. Un altro modo, più semplice, di esprimere la risoluzione angolare per un telescopio ottico e per un radiotelescopio, ma a particolari lunghezze d'onda/frequenze

Adesso, dimostriamo che la formula che esprime la risoluzione angolare
1,22 λ/D
può essere scritta in un altro modo, ma a lunghezze d'onda specifiche.

Per i telescopi ottici, consideriamo quella a cui l'ochho è più sensibile:
λ = 550 nanometri,
mentre per i radiotelescopi consideriamo
λ = 3 cm
corrispondente alla frequenza di 10 GHz, perché è una frequenza molto utilizzata in radioastronomia amatoriale, vista la più facile reperibilità degli LNB destinati alla ricezione satellitare, che lavorano a 10-12 GHz, nella cosiddetta "banda X" delle microonde: https://it.wikipedia.org/wiki/Microonde#Bande_di_frequenza

Dimostriamo che:

A)
per un telescopio ottico alla lunghezza d'onda a cui l'occhio umano è più sensibile
λ = 550 nanometri
la risoluzione espressa in secondi d'arco,
in modo equivalente, è uguale a
138,4 / D espresso in millimetri
che i siti specializzati spesso arrotondano a
135 / D espresso in millimetri

(io preferirei arrotondare a 140 invece di 135)

B)
per un radiotelescopio alla frequenza di 10 GHz, ossia
λ = 3 cm
la risoluzione espressa in gradi,
in modo equivalente, è uguale a
209,7 / D espresso in cm
spesso arrotondato a
210 / D espresso in cm
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5. Dimostrazione per il telescopio ottico

Cominciamo a dimostrare la A).

In pratica, abbiamo

risoluzione in radianti = 1,22 ∙ 550 nanometri / D

Come passare ai secondi d'arco?
Cominciamo a passare ai gradi.
Ricordiamo dalla scuola: per esempio, 180 gradi sono uguali a 3,14 radianti.
Allora, per passare da radianti a gradi, dobbiamo moltiplicare per 180/3,14.

Se poi vogliamo passare ai secondi d'arco, dobbiamo moltiplicare ancora per 3600 perché:
ogni grado è pari a 60 primi d'arco,
ogni primo è pari a 60 secondi d'arco,
quindi un grado è uguale a 60∙60 = 3600 secondi d'arco.

Dunque abbiamo

risoluzione in secondi = 3600 ∙(180/3,14) ∙ 1,22 ∙ 550 nanometri / D
= circa 251.600 ∙ 550 nanometri / D
= circa 138.400.000 nanometri / D

A questo punto, se D è in millimetri, poichè
1 nanometro = un miliardesimo di metro = un milionesimo di millimetro,
abbiamo

risoluzione in secondi
= circa 138.400.000 milionesimi di millimetro / D
= circa 138,4 / D in millimetri
arrotondato spesso a
135 / D in millimetri

(come già scritto, io preferirei arrotondare a 140 invece di 135)
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6. Dimostrazione per il radiotelescopio

Dimostriamo adesso la B).

In questo caso, abbiamo

risoluzione in radianti = 1,22 ∙ 3 cm / D

Per passare da radianti a gradi, come detto, basta moltiplicare per 180/3,14.
Dunque abbiamo

risoluzione in gradi = (180/3,14) ∙ 1,22 ∙ 3 cm / D
= circa 209,7 cm / D
= circa 209,7 / D in cm
arrotondato spesso a
210 / D in cm
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7. Torniamo agli stessi esempi con telescopio ottico e radiotelescopio

se applichiamo la A) con un telescopio che abbia D = 40 cm = 400 millimetri,
otteniamo proprio 0,35 secondi d'arco, in accordo con quanto già visto nel primo esempio;

se appichiamo la B) con un radiotelescopio che abbia D = 3 m = 300 cm
otteniamo proprio 0,7 gradi, in accordo con quanto già visto nel secondo esempio.
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Gino Di Ruberto, IK8QQM,
Unione Astrofili Napoletani